Corrigé Olympiades 2005: Paris Exercice 1

On peut considérer que les âges des personnes placées autour de la table forment une suite (x_i) pour i variant de 1 à 26,
en partant d'une personne donnée et en "tournant" autour de cette table dans un sens fixé, par exemple, le sens des aiguilles d'une montre!

La personne 1 a pour âge x₁ , la personne 2 a âges x₂ , .... etc

Les possibilités de choisir 4 personnes côte à côte correspondent alors à former les 26 listes suivantes d'âges:
L₁ = (x₁ , x₂ , x₃ , x₄)
L₂ = (x₂ , x₃ , x₄ , x₅)
L₃ = (x₃ , x₄ , x₅ , x₆)
L₄ = (x₄ , x₅ , x₆ , x₇)
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L₂₃ = (x₂₃ , x₂₄ , x₂₅ , x₂₆)
L₂₄ = (x₂₄ , x₂₅ , x₂₆ , x₁)
L₂₅ = (x₂₅ , x₂₆ , x₁ , x₂)
L₂₆ = (x₂₆ , x₁ , x₂ , x₃)

Pour chacune de ces listes L_k , la somme des âges est : S_k  et la somme de tous les S_k est :
S = 4(x₁ + x₂ + x₃ + ...... + x₂₆ )
Or , (x₁ + x₂ + x₃ + ...... + x₂₆ ) est la somme des tous les âges,
c'est à dire : (x₁ + x₂ + x₃ + ...... + x₂₆ ) = 30 + 31 + ... + 60 = 1235.
Donc S = 4940.

Si pour k entre 1 et 26 , S_k > 190 , alors S > 26x190 = 4940.

Contradiction, donc il existe au moins un indice k tel que S_k < 190.