Correction Olympiades Academiques 2005
Correction Olympiades Académiques 2005
Exercice 1:
Le lièvre se déplace 363 fois plus vite que la tortue.
Lorsque
la tortue a parcouru une moitié du circuit, le lièvre a parcouru, lui,
363 moitiés de circuit, c'est-à-dire 181 « tours complets »
et un demi circuit, à l’issue duquel les deux animaux se croisent.
Le
lièvre a donc dépassé 181 fois la tortue (à chaque passage sur une boucle
de rang pair de son parcours), et l’a croisée une fois au carrefour.
Ce premier demi circuit de la tortue génère donc 182 « dépassements
ou croisements ».
Au second demi circuit effectué par la tortue,
le même raisonnement s’applique (la position initiale étant comptabilisée
dans le décompte précédent), et ainsi de suite.
Ainsi, chaque demi circuit
effectué par la tortue génère 182 rencontres, dont 181 dépassements et
un seul croisement à la fin.
2005 = 11 x 182 + 3
Donc pour 2005 « croisements ou dépassements », la
tortue aura parcouru 11 moitiés de circuit, qui auront généré 11 croisements.
Exercice 2:
Pour résoudre cet exercice, il faut partir d’un des carrés jouxtant
le carré unité (en noir sur la figure) et
de préférence commencer par
le plus petit (carré C1).
Si ce carré C1 a pour côté c, le carré C2 a
pour côté c + 1 et le carré C3 a pour côté c + 2.
Le carré C4 a pour côté c + 3.
(À chaque fois, on utilise le fait que le carré noir a pour
côté 1)
Ceci permet de déduire que le carré C5 pour côté
4.
Quant au carré C6 il a pour côté 2c + 1.
On obtient qu’une des dimensions du rectangle initial est :
(2c + 1) + (c + 1) + (c + 2) = 4c + 4.
Le carré C7 a pour côté c + 3 + 4 = c + 7. Donc l’autre
dimension du rectangle initial est :
(c + 7) + (c + 3) + (c + 2) = 3c +12.
Le dernier carré C8 a pour côté c + 7 + 4 =c + 11.
Finalement deux côtés opposés du rectangle ont pour dimensions :
4c + 4 et (c + 7) + (c + 11) = 2c + 18
Les deux côtés étant de même longueur, on a 4c + 4 = 2c + 18
ce qui donne c = 7.
En conclusion, le rectangle initial a pour dimensions 32 et
33.
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