Les deux Exercices communs des Olympiades 2005

Voir Correction des Exercices Communs

Exercice 1: Le lièvre et la tortue.
La piste du champiodrome a la forme suivante: deux arcs formant les trois quarts d'un cercle, raccordés
par les deux diagonales d'un carré, ces deux diagonales se coupant en un carrefour.

Au même instant, une tortue et un lièvre partent du carrefour, empruntant deux diagonales différentes
menant à deux arcs de cercle différents.
Sur le dessin, une flèche pour la tortue, deux flèches pour le lièvre.
Les deux animaux courent à une vitesse constante, et la tortue met 363 secondes pour parcourir la distance
paurcourue par le lièvre en 1 seconde.

Après 2005 rencontres (dépassements sur la piste ou croisements au carrefour), hormis le départ, le lièvre
abandonne.

Combien de fois avait-il croisé la tortue au carrefour?

Exercice 2: Un pavage.
Le rectangle ci-dessous est pavé par 9 carrés. Le carré noir a pour côté une unité.
Quelles sont les dimensions du rectangle?

Les Exercices Académiques

Amiens:
Exercice 1:
On considère trois réels positifs tels que, pour chaque paire choisie, le différence entre la somme de ces deux réels et le réel restant soit positive.
Prouver que le produit de ces trois différences est inférieur ou égal au produit des trois nombres.

Exercice 2:
La figure 1 représente une fenêtre éclairée par le soleil.
Tracer son ombre sur le plancher (l'ombre du coin inférieur gauche est donnée).
La figure 2 représente la même fenêtre aclairée cette fois par un lampadaire.
Tracer son ombre sur le plancher (l'ombre du bord inférieur est donnée.
                    

Exercice 2: Le parc du château
1 - Trois points distincts A, B, C sont situés à l'intérieur d'un carré de côté de longueur a.
      On veut démontrer que l'aire du triangle (A,B,C) est inférieure ou égale à a²/2.
  a) Démontrer ce résultat dans le cas particulier où le côté [BC] du triangle est parallèle à un des côtés du carré.
  b) Démontrer le résultat dans le cas général. (On pourra s'aider du cas particulier.)
2 - Le parc d'un château occupe une surface carrée de 120 m de côté. Dans ce parc sont plantés 73 arbres.
  a) Montrer que trois des arbres sont les sommets d'un triangle d'aire inférieure ou égale à 200 m².
b) Le châtelain souhaite construire une fontaine de telle sorte que celle-ci soit située à moins de
     15 m de trois arbres de son parc. Est-ce possible ? Justifier.

Bordeaux:
Exercice 1:
Quatre maisons sont situées aux quatre coins d'un carré de côté 1. On souhaite construire un réseau routier qui
permet de relier les maisons mais on veut que ce réseau soit le plus court possible.
1: Dans un premier temps, on envisage de créer un rond point à l'intérieur du carré comme dessiné sur la
    figure 1. Démontrer que dans ce cas, le réseau le plus court est obtenu lorsque le rond point est situé au
    centre du carré.
2: Un des habitants s'est rendu compte qu'avec deux ronds points placés comme sur la figure 2, on pouvait
     réduire la longueur du réseau.Vérifier qu'il a raison.
3: Trouver la valeur de x qui permet d'obtenir le réseau le plus court dans la configuration de la figure 3.:
 

Exercice 2:
Première question
Démontrer que dans un triangle ABC, si on note p le périmètre et r le rayon du cercle inscrit, alors l'aire S du triangle est donnée par :
Deuxième question
Une unité de longueur étant choisie, on appelle triangle académique un triangle dont les mesures des côtés
sont en progression arithmétique de raison 1.
Dans tout l'exercice, on considère un triangle ABC tel que AB < AC < BC.
Ainsi, un tel triangle est académique si : AC = AB + 1 et BC = AB + 2.
1: On note I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC et D le pied de la bissectrice intérieure de
    l'angle .  Démontrer que si ABC est académique alors   BD = 3ID.
2: Un triangle académique peut-il être rectangle ? Justifier. Quelles sont alors ses dimensions ?
3: On suppose que le triangle ABC est académique et que AB > 3.
     Démontrer que les trois angles du triangle ABC sont aigus et qu'un seul d'entre eux a une mesure
     supérieure à 60°.

Attention

En revanche, pour la facilité du dessin, l'orientation des chiffres sur les faces est sans importance ;
le dé ci-contre à droite, par exemple, sera considéré comme identique au premier.

On fabrique des assemblages de dés en les accolant face contre face et en respectant toujours la règle suivante:

« Lorsque deux dés sont accolés, les faces de contact entre les deux dés portent toujours le même nombre. »

Dans cet exercice, des dessins soigneusement réalisés pourront être considérés comme
une justification suffisante.

1°) Peut-on réaliser une configuration de quatre dés, posés sur une table, accolés en carré, et portant chacun
     le nombre 6 sur sa face supérieure ?

2°)  a) Montrer que la configuration  de quatre dés posés sur une table présentée ci-contre est réalisable.
          Quelle est la somme des nombres portés par les faces visibles des quatre dés ?
          (Il s'agit de toutes les faces visibles et non pas seulement des faces visibles sur le dessin ci-contre).

Exercice 2: Le quadrilatère des mi-chemins
Soit ABCD un carré.
1°) Construire E, F, G, H tels que E soit le milieu de [AH], F celui de [BE], G celui de [CF] et H celui de [DG]
      en indiquant clairement la méthode utilisée.   Préciser la nature du quadrilatère EFGH.
2°) Calculer

Corse:
Exercice 1: Un placement
J'avais décidé de faire des économies et pour cela j'avais prévu de déposer chaque mois 100 euros sur un
compte en banque, le capital total déposé étant rémunéré chaque mois à un taux mensuel de 0,4152 %.
J'avais décidé de faire 120 dépôts et de récupérer mes économies 120 mois après mon premier versement.
Malheureusement, des difficultés financières ne m'ont pas permis des économies constantes et, pendant
15 mois consécutifs je n'ai rien versé sur mon compte.
Pour tous les autres mois, le versement a toujours été de 100 euros.
Au bout de 120 mois de placement, cela a représenté une perte d'environ 2005 euros, par rapport au plan
que j'avais initialement prévu.

   a) Quel capital aurais-je dû récupérer au bout des 120 mois si je n'avais pas eu des difficultés financières?
   b) Déterminer quels sont les mois pendant lesquels je n'ai pas versé les 100 euros.

Exercice 2: Le billard
Un billard est constitué d'un plateau rectangulaire de longueur L et largeur l.
La boule de billard qui se trouve en un point A du billard, suit, après avoir été frappée, une trajectoire en
ricochant sur les bords du plateau.
On dira que la trajectoire est « parfaite » si la boule revient à son point de départ en suivant un quadrilatère
dont les sommets sont des points situés sur les bords du plateau.
Dans cette question on considère que le joueur n'a pas donné à la boule d'effet spécial et que le rebond sur
chaque bord du plateau se fait symétriquement à la perpendiculaire au point de contact, comme indiqué sur
la figure ci-dessous.

   a) Démontrer qu'une trajectoire parfaite est nécessairement un parallélogramme.
   b) Pour tout point A non situé au centre ou sur un bord du plateau, déterminer en le justifiant, le nombre de
        trajectoires parfaites passant par A.
   c) Démontrer que toutes les trajectoires parfaites ont la même longueur. 

Dijon:
Exercice 1:
Lorsqu'on observe les deux aiguilles d'une horloge, on constate qu'elles occupent au fil des heures, l'une par
rapport a l'autre, des positions partuculières.
On se propose, dans cet exercice, d'étudier deux exemples de telles situations.
1) A minuit (0 heure) les deux aiguillles sont superposées.
    A quelle heure cette superposition se produira-t-elle de nouveau:
    a) pour la première fois?
    b) pour la seconde fois?
    c) pour la k ème fois (k désigne un entier compris entre 1 et 11) Les réponses aux questions a et b seront
        arrondies a la seconde.
2) Lorsqu'il est environ 10h 10' et que la bissectrice de l'angle formé par les deux aiguilles passe par la
     graduation "12", quelle heure est-il? (La réponse sera arrondie à la seconde)
Correction

Exercice 2:
A la question: "comment diviser un quadrilatère ABCD en trois parties de meme aire, en traçant deux droites
passant par D?", Samuel Marolois (1616) propose la réponse suivante:
"On place E au tiers de la diagonale [AC] et F aux deux tiers de cette meme diagonale.
La parallele à (BD) passsant par E coupe [AB] en G et la parallèle à [BD] passant par F coupe [BC] en H.
Les deux droitres cherchées sont (DG) et (DH)"
On se propose de vérifier cette affirmation dans le contexte de la figure ci-dessous
1) Démontrer que les quadrilatères DABE, DEBF et DFBC ont la meme aire.
2) En déduire que DAG, DHC et DGBH sont des polygones de meme aire.
 

Marseille:
Exercice 1:
Lors d'une soirée dansante, un vol important a été commis. L'inspecteur Jean Quette, appelé sur les lieux,
réunit toutes les personnes et demande à chacune avec combien de personnes elle a dansé.
Chacune des femmes répond qu'elle a dansé avec trois hommes.
Chacun des hommes déclare avoir dansé avec une, deux ou trois femmes.
Il y a davantage d'hommes déclarant avoir dansé avec trois femmes que d'hommes déclarant avoir dansé
avec une seule femme.
Après avoir constaté que moins des deux cinquièmes des personnes étaient des femmes et avoir un peu
réfléchi, l'inspecteur conclut qu'une personne au moins a menti et il a raison.
Expliquer pourquoi.

Exercice 2:
Un ennéagone est un polygone à neuf côtés.
On considère la figure suivante dans laquelle AB' = B'B" = B"C  ; BC' = C'C" = C"A et BA" = A"A' = A'C.
 

1: Démontrer que la droite (AE) est perpendiculaire à la droite (BC).
De même, la droite (BF) est perpendiculaire à la droite (AC) et la droite (CG) est perpendiculaire à la droite
(AB). On note H le point d'intersection des droites (AE) , (BF) et (CG).
2: Quel est le rapport de l'aire de l'ennéagone (A'A"FC'C"EB'B"G) sur celle du triangle (ABC) ?

Montpellier:
Exercice 1:
On considère l'ensemble des nombres entiers strictement positifs. On défini l'opération collage de deux nombres entiers M et N
par    :    M*N = MN.
Ainsi,  6*4 = 64   ;   35*2 = 352    ;    17*35 = 1735.
Un entiere N est formidable si N devise M*N pour tout entier M.
2 est formidable !
3 est-il formidable ?
Combien y-a-t-il de nombres formidables à un chiffre ?
Combien y-a-t-il de nombres formidables inférieurs à 2005 ?

Exercice 2:
On considère trois nombres positifs a , b et c tels que a + b + c  = 1.
Pour quelles valeurs de a, b et c la somme ab + ac est-elle mximum?
Quelle est alors la valeur de ce maximum?

On considère quatre nombres positifs a , b , c et d tels que a + b + c + d = 1.
Pour quelles valeurs de a , b , c et d la somme ab + ac + ad est-elle maximum ?
Quelle est alors la valeur de ce maximum ?

Nancy-Metz:
Exercice 1:
Deux bacs partent en même temps des deux rives opposées de l'Amazone et naviguent à vitesse constante.
L'un étant plus rapide que l'autre, ils se croisent à 1500 mètres de la rive la plus proche.
Ariivés à destination, les deux bateaux restent à quai 25 minutes, le temps du débarquement des passagers et
de l'embarquement de nouveaus passagers, puis larguent les amarres pour repartir vers leur point de départ.
Ils se croisent une seconde fois à 700 mètres de la rive la plus proche.
Quelle est la largeur de l'Amazone entre ces deux rives ?

Exercice 2:
Lorsque qu'un rayon lumineux se réfléchit sur un miroir plan en un point M, l'angle i et l'angle r sont égaux.
(voir figure1).
BC et BD sont deux miroirs de grande longueur formant un angle non nul compris entre 0° et 90°.
Un laser positionné en un point A émet un rayon vers BC parallèlement à BD qui se réfléchit en A₁.
Si est différent de 90° (voir figure 2), le rayon réfléchi se dirige alors vers le point A₂ de BD en
s'approchant de Bet subit une nouvelle réflexion.
On veut étudier le nombre k de fois que le rayon frappe l'un ou l'autre des miroirs.

1) Analyse de quelques cas particuliers
    a) Que vaut le nombre k lorsque = 90° ? = 60° ?   = 45° ?
    b) Sur la figure 2 l'angle vaut 26°. Déterminer les différents angles i_n et r_n en chacun
         des point A_n (1 < n < 6) où le rayon est réfléchi ?
2) Analyse du cas général
Dans cette question on suppose que est quelconque entre 0° et 90° ( différent de 0° et de 90°)
    a) Le rayon peut-il s'approcher indéfiniment de B?
    b) Déterminer en encadrement du nombre k en fonction de .
    c) Quelles valeurs entières peut-on donner à pur avoir k = 25 ?
                        

Nantes:
Exercice 1:
Le patron du magasin "La vie en roses" a décidé de vendre ses roses par bouquets de 7 ou de 11 roses
et de présenter, en bouquets, toutes les roses qui lui sont livrées chaque jour.
Aussitôt, les employés ont commenté cette décision.

Amamdine: "Pas facile! Si, un jour on nous livre 37 ou 59 roses, personne n'arrivera à respecter le contrat."

Brigitte:"D'accord, mais on nous livre parfois les roses par douzaines, et pour 5 ou 6 douzaines,
               je suis sûre d'y arriver".

Chloé:"Je sais répartir 73 roses en faisant 6 bouquets de 11 roses et 1 bouquet de 7 roses.
           Comme 74 = 73 + 8x7 - 5x11, pour 74 roses je ferai 1 bouquet de 11 roses et 9 bouquets de 7 roses.
            Puis, en écrivant 75 = 74 + 2x11 - 3x7, je peux, avec 75 roses, réalier 3 bouquets de 11 roses et
            6 bouquets de 7 roses." 

Dorothée:"Bien vu et tu peux continuer ainsi: dès que l'on sait réaliser ces bouquets pour un nombre n
                  de roses avec au moins  3 bouquets de 7 roses ou au moins 5 bouquets de 11 roses, alors on
                  arrivera à faires les bouquets quand la  livraison comportera n+1 roses".

Etienne:"Le nombre maximum de roses livrées pour lequel on fera au plus 2 bouquets de 7 roses et au plus
              4 bouquets de 11 roses est inférieur à 50".

 Fanny:"En réfléchissant à tout ce que vous venez de dire, je viens de trouver le plus grand nombre
             de roses pour lequel les exigences du patron ne sont pas satisfaites".
Qui a raison? Qui a tort? Pourquoi? Quel est le plus grand nombre de roses pour lequel les exigences
du patron ne pourront pas être satisfaites?

Exercice 2:
Construire à l'intérieur d'un triangle équilatéral donné trois cercles de même rayon, tangents deux à deux
et tangents chacun à deux côtés du triangle.
Justifier cette construction.

Orleans-Tours:
Exercice 1: Les cubes
On prend un certain nombre de cubes de un centimètre de côté que l'on accole face contre face de façon à constituer a rangées de b cubes ( a et b sont deux entiers ), sans laisser d'espace vide entre les petits cubes. On obtient ainsi un parallélépipède rectangle de hauteur  un centimètre, de largeur a cm et de longueur b cm.  On appelle « aire du parallélépipède » la somme des aires de ses faces.
1:   Déterminer le nombre de cubes utilisés, sachant que  l'aire du parallélépipède est égale à 100 cm² .    
       (On sera amené à utiliser la décomposition en facteurs premiers de 51).
2:  Quel est le nombre minimal de cubes que l'on doit disposer ainsi pour que l'aire du parallélépipède obtenu soit égale à  0,401 m² ?
NB : On donne à toutes fins utiles la liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 .

Paris:
Exercice 1:
26 personnes dont les âges sont respectivement chacun des entiers compris entre 35 et 60 sont assises autour
d'une table.
Montrer qu'il existe 4 personnes assises côte à côte dont la somme des âges est inférieure ou égale à 190.
Correction

Exercice 2 :
On considère un table de flipper; sur cette table sont placés trois plots non alignés A, B et C, assimilés à
des points.
On veut choisir un autre point M sur la table, où l'on va placer un mécanisme qui agit de la façon suivante :
Toute bille partie de A et arrivée en M est ensuite renvoyée de M vers la droite (BC) perpendiclulairement
à la droite (AM).
Les deux parties de la trajectoire sont supposée rectilignes.

Représenter l'ensemble des points M de demi-plan de frontière (BC) et contenant A pour lesquels la bille
lancée de A
et passée en M passera ensuite entre B et C. 

Poitier:
Exercice 1:
1: Combien y-a-t-il de façons différentes de lire le mot "JEU" en suivant une ligne brisée selon les verticales
    et le horizontales?
    Et le mot "MATH" ?
                                                                   
2: a: Le nombre de façons différentes de lire le mot "OLYMPIADES" en suivant une ligne brisée selon les
         verticales et les horizontales dans le premier tableau ci-dessous à gauche est supérieur à 500.
         Quel est-il exactement ?

2:b: Maintenant il y a une tache noire infranchissable sur les mettres PI à la troisième ligne
        (deuxième tableau, à droite).
        Quel est le nombre de façons de lire "OLYMPIADES"?

3: On revient à la grille de départ sans tache, où l'on envisage de disposer une tache ayant la forme d'un
     bloc verticale de trois lettres.
     Où faut-il mettre cette tache si l'on veut que le nombres de façons de lire "OLYMPIADES" soit:
     a: le plus grand possible?
     b: le plus petit possible (le S ne fait pas partie du bloc de trois lettres verticales) ?

Exercice 2:
Un jardin public a la forme d'un triangle ABC isocèle rectangle en A, avec AB = 130m.
Un parterre a été tracé: c'est un secteur circulaire, centré en A, de 50m de rayon et il est impossible d'y marcher.
L'arc de cercle coupe [AB] en K.

1: Un enfant court de B vers K puis de K doit rejoindre C. Quel est le trajet le plus court?
    (justification demandée)
2: Un autre enfant part lui aussi de B, doit rejoindre un point de l'arc de cercle et rejoindre C.
     Quel est le tajet le plus court? (justification demandée)
     En donner une approximation à 0,1m près.

Exercice 3:(Autre que S)
On considère deux grilles carrées ayant chacune n lignes et n colonnes.
On remplit la première grille en remplissant "en ligne" par les nombres de 1 à p en commençant de 1 à p
jusqu'à ce que la grille soit remplie (quand on arrive à la fin d'une ligne on continue sur la ligne suivantes).
On remplit la deuxième grille suivant le même processus mais en procédant "en colonne".
Par exemple si n = 5 et  p =3 la première grille (à gauche) et la seconde grille (à droite) sont:
           

On s'intéresse au nombre N de cases de ces deux grilles ayant le même nombre dans chacune des deux grilles.
(Dans l'exemple ci-dessus toutes ces cases contiennent des 1 et N = 9).

Pour les trois questions suivantes donner seulement la réponse.
En particulier, aucune grille ne sera dessinée pour ces trois réponses.
1: Quelle est la valeur de N lorsque p = 2 et n vaut successivement 2 , 3 , 4 et 5 ?
2: Quelle est la valeur de N lorsque p = 3 et n vaut successivement 6 et 7 ?
3: Quelle est lla valeur de N  lorsque p = 4  et n = 7 ?
Pour la quatrième question, donner la réponse et la justifier si possible.
4: Quelle est la valeur de N lorsque p = 2 et n quelconque ?

Rennes:
Exercice 1:
Nicolas et Jacques sautillent allègrement le long d'un chemin qui comporte des bornes numériques.
Le petit Nicolas démarre à la borne 0 et saute les bornes deux par deux (0, 2, 4, etc.) tandis que Jacques
qui a de plus grandes jambes, parti de la borne 953, les passe dans le même temps 5 par 5 (953, 948, 943, etc.).
1) Peuvent- t-ils se rencontrer sur une même borne ?
2) Sinon quelles sont les deux bornes sur lesquelles ils se trouveront nez à nez ?
Une mouche très curieuse et très rapide fait un aller-retour entre Nicolas et Jacques dans le court laps de
temps qui sépare le moment où ils arrivent sur les bornes et le moment où ils en repartent.
3) Sachant que l'intervalle entre deux bornes est de 25 cm et que la mouche termine son périple en se posant
    sur Nicolas lorsqu'il arrive sur sa dernière borne quelle distance a-t-elle parcouru ?

Exercice 2:
C'est la fête du village à Sainte Olympe ! ! ! Le matin, c'est le marché traditionnel.
Il est 9 heures et l'horloge de l'église vient de sonner les 9 coups en 9 secondes.

Sur un étal, on propose des tomates. Elles proviennent d'un stock de 500 kg oublié pendant deux jours dans un
hangar dont la température est de 28 °C.
Elles ont un peu souffert mais restent bien présentables bien que leur teneur en eau qui est habituellement
de 95 % n'est plus que de 90 %.
A 11 heures, l'horloge de l'église sonne et la course cycliste va commencer : les 12 participants répartis en
trois équipes prennent le départ.
Au bout de 35 mn, Mikaël Olympe, qui est un des favoris, réussit à doubler son cousin Gwendal qui était
jusqu'alors le deuxième.
A l'arrivée le classement n'a pas changé. Un généreux donateur britannique, Sir Ing a sponsorisé la course et
a offert en plus des premiers prix, une somme de 12000 euros pour récompenser la participation des équipes.
Quelle injustice!!... Les dossards bleus reçoivent 2000 euros chacun, les dossards rouges 500 et les jaunes 250.
Questions
1 ) Quel poids de tomates le maraîcher propose-t-il à la vente?
2 ) En combien de secondes sonnent les 11 coups de 11 heures ?
3 ) A quelle place arrive Mikaël ?
4 ) Combien y a-t-il de dossards de chaque couleur ?

Rouen :
Exercice 1:
La Terre est assimilée à une sphère de rayon R = 6400km. Dans un port situé au bord d'un vasre océan, on dresse un point d'observation à h=40mètres du niveau de la mer afin de surveiller l'approche des navires et les appareillages. Un homme situé dans cette observatoire scrute l'horizon.
1 : En supposant que le regard puisse se porter aussi loin que possiblen à quelle distance se situe l'horizon pour l'homme de la vigie,
    au kilomètre près? La ligne d'horizon est définie par l'endroit où la rondidité de la Terre empêche à l'oeil devoir la surface de la
     mer au-delà de ce point. Ceci est schématisé ainsi.
2: Un bteau quitte le port à la vitesse constant de 10 noeuds (*)  et s'éloigne en ligne droite depuis la vigie vers l'horizon.
    On considère que le navire disparaît de la vue dès qu'il a atteint la ligne d'horizon.
    Estimer au centimètre près l'écart entre la portée de vue depuis la vigie et la distance réelle parcourue par le bateau jusqu'à
    l'horizon. En combien de temps le bateau aura-t-il passé l'horizon, à la minute près?
    (*) Un noeud est la vitesse mise un navire pour parcourir un mille marin (1,852km) en une heure.
3: A quelle hauteur, au mètre près, doit-on construire un phrare pour que la vision puisse se porter au maximum à 40km ?

Exercice 2:
Soit ABC un triangle équilatéral. On pose AB = BC = CA = x .
Sit (C) le cercle circonscrit au triangle ABC.
Soit D le point du petit arc AC de cercle (C) tel que CD = 2AD. On pose AD = y.
Soit E le point d'intersection de la droite (AD) et de la parallèle à (BD) passant par C.
Soit H le pied de la hauteur issue de C du triangle CDE.

1: Quelle est la nature du triangle CDE? Justifier.
2: Montrer que aire(CDE ) = aire(ABC)

Toulouse:

 

Versailles
Exercice 1:
On considère un triangle ABC dont les trois angles sont aigus.
On pose BC = a , CA = b et AB = c.
On appelle h la hauteur relative à [BC] et S l'aire du triangle ABC.

On inscrit dans ce triangle le carré IJKL tel que I soit sur [BC] , J sur [BC] , [J sur [AC] et L sur [AB]
comme indiqué sur la figure ci-dessous. On dit que la carré IJKL est posé sur [BC]. On appelle C₁ ce carré.

On peut construire de même deux autres carrés C2 et C3 inscrits dans le triangle ABC, l'un posé sur [CA],
l'autre posé sur [AB].

1: Exprimer le côté du carré IJKL en fonction de a et h.
2: On suppose que a < b < c. Classer les trois carrés C1 , C2 et C3 par ordre de grandeur.
3: Déterminer les triangles ABC d'aire S donné tels que l'aire du carré IJKL soit maximale.
4: Existe-t-il des triangles ABC d'aire S donnée tels que les trois carrés soient d'aires maximales?

Exercice 2:
On dispose de 100 cartes . Sur chacune sont écrites deux entiers consécutifs, de sorte que chacun des entiers
1,2,3,...,199,200 est écrit sur une et seule carte.

1: Alice a choisi 21 cartes au hasard. Elle fait la somme de tous les entiers écrits sur ces cartes et annonce
    à Bob que cette somme est égale à 2004.
    Prouver qu'Alice s'est trompée dans son calcul.

2: Alice recompte et annonce 2005. Prouver qu'elle s'est à nouveau trompée dans son calcul.

3: En fait, le total d'Alice est 2003. Pendant ce temps, Bob a choisi 20 cartes au hasard parmi celles
    qui restaient.
    Il fait la somme des nombres écrits sur ses cartes et annonce à Alice que cette somme est 1396.
    Prouver que Bob s'est trompé dans son calcul.

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