La fonction f est clairement croissante. Posons E comme étant ensemble des valeurs que prend cette fonction. Un entier m n'appartient pas à E si et seulement si il existe n dans IN tel que f(n) < m < f(n+1), un tel entier étant nécessairement unique.
Considérons alors, pour m n'appartenant pas à E, cet entier n tel que f(n) < m < f(n+1) et posons p = m - n.
De la définition de f, on obtient:
(relation 1)
Si
n <
pk - p alors 
En
utisant alors la relation (1), on peut voir que
pk-p < n+1
.
De plus, remarquons que pour tout
x supérieur à 1, on a x-1 < xk -xk
-1
Pour le vérifier, il suffit d'étudier la fonction
g(x) = xk-xk-1-x+1
Donc,
si ,
p k
- p + 1 < n
alors 
.
De la remarque précedente, on en déduit que: ( p
- 1)k
+ p -1 < pk
donc que
(p-1)k
< pk
- p + 1 .
D'où
.
Comme dans la relation (1) , on a 
:
, on en déduit que
n < pk
- p + 1
De là, on peut dire que la relation (1) n'est vérifiée que si
n = pk
- p .
.
Reprenons alors m n'appartenant pas à l'ensemble des valeurs que peut prendre f.
On a alors : m =
p+n =
pk
.
.
Conclusion:
m appartient à l'ensemble des valeurs que prend la fonction f si et seulement si m n'est pas une puissance
k
-ième d'un entier.