Retour Accueil              Correction Problème Septembre 2003 (Retour au Problème)

Partie A:

f est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur R.
De plus : f '(x) = -3e^-3xj(x) + e^-3x j'(x) = e^-3x[j(x) - 3j '(x)] .  
On sait que pour tout x réel , e^-3x > 0 donc  j(x) - 3j '(x) = e^3x f '(x).
j est solution de (E) si et seulement si .
D'après le résultat précedent, cela signifie que f vérifie :  
ou encore : avec U(x) = (1 + e^-3x).
f est donc de la forme :
                 
On a donc :  
La condition j(0) = e/2 donne alors K = e.

D'où  

Partie B:

Si x tend vers +oo alors (-3x) tend vers -oo donc e^1-3x et e^-3x tendent vers 0 d'où f (x) tend vers 0.
De plus:
.  Si x tend vers -oo alors e^3x tend vers 0 d'où f (x) tend vers e.

On a donc :

Pour les variations, on peut calculer la fonction dérivée de f ce qui donne, tous calculs faits:
                                                       
On remarque alors que f '(x) > 0 sur R donc f est strictement décroissante sur R.
On peut aussi voir (ce qui limite les calculs) que f = hou avec :

h est croissante sur [0 ; +oo[ et u est décroissante sur R d'où la même conclusion.

3. a: On sait que f(x) > 0 sur R . Donc I_a > 0 pour  a > 0  et I_a  < 0 pour  a < 0.
   Pour  a > 0, l'intégrale correspond à l'aire en unité d'aire de la partie du plan limitée par la courbe de f, la droite des abscisses, la droite des ordonnées et la droite d'équation "x = a ".
   Pour a < 0 , l'intégrale correspond à l'opposée de cette aire.
   b:  Pour calculer , il suffit de trouver une primitive de f sur R.
        OR !
          avec U(x) = 1+ e^-3x .
        Donc une primitive de f sur R est : F(x) = -(e/3).ln(1+e^-3x)
        D'où :
                                  
   
                                  
    c: Si a tend vers +oo alors e^-3a   tend vers 0 d'où I_a  tend vers eln(2)/3 :
                                 

Partie C:

a: La suite (u_n) est positive !  évident...
 b: Pour tout n entier non nul et x dans [0 ; 1], on a:   
     donc  d'où   car f(x) > 0 pour tout x réel.
     D'où
     On en déduit alors que la suite (u_n) est décroissante.
c: Suite décroissante et minorée par 0, donc .......
a: Pour tout n entier non nul et  x dans [0 ; 1], on a    1 < e^x/n < e^1/n    donc    
                                           f(x) <    f(x)e^x/n    <    f(x)e^1/n.

    D'où            

    D'où             I₁ <   u_n <  e^1/nI₁ .
 b: On sait que si n tend vers +oo alors 1/n tend vers 0 donc que  e^1/n  tend vers 1.
      D'après l'encadrement précédent, on en déduit que la suite (u_n) converge vers I₁ .
      D'après le résultat de la question Partie B: 3.a:, on a :