- On donne une suite (qn)
d'entiers naturels, croissante et dont le premier terme est
supérieur ou égal à 2. On construit alors
la suite (un)
:
a: Montrez que la suite (un)
est croissante et qu'elle est majorée par une suite convergente
ne dépendant que de q0.
Déduisez-en que la suite (un)
a une limite qui appartient à l'intervalle ]0 ; 1].
b:
Montrez que si, pour tout entier n
>
k
, on a qn
= qk , alors
la limite de la suite (un)
est un nombre rationnel.
c: On suppose que la suite (un)
converge vers un nombre rationnel L.
On écrit alors L
sous la forme d'un fraction irréductible  , a
et b
étant > 0.
Montrez qu'il
existe une suite d'entiers (an)
telle que :
Montrez alors que 
Déduisez-alors que pour tout n
entiers naturels:  .
En utlisant alors la propriété
suivante
"Toute suite d'entiers
croissante et majorée est stationnaire à
partir d'un certain rang", que pouvez-vous
en déduire?
- Pour n entier naturel, on pose
:
a:
Montrez qu'il existe deux suites (an) et (bn)
d'entiers naturels tels que:
b:
Quelles sont les valeurs de a0 et b0?
Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an
et bn.
c: Déterminez l'expression de 2bn²
- an² en fonction de n puis PGCD(an,bn)
pour n>0.
d: Quelle est la valeur de UnVn?
Donnez
alors l'expression de Vn en fonction de an
et bn.
e: Montrez que pour tout n entier naturel, il existe un
entier naturel pn tel que:
Voir
la correction
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