Retour à l'Exercice                        Correction Exercice 2 Liste 5 Arithmétique

On remarque que U₀ = V₀ = 1. On a donc : .
a et b: Posons P(n) la propriété suivante:
           
On sait de P(0) est vraie.
Hypothèse de récurrence : pour un entier naturel n , on a P(n)  ". "
Or ,
D'où les relations:

L'expression de a_n+1 et b_n+1 en fonction de a_n et b_n et alors : "a_n+1 = a_n+2b_n et b_n+1=a_n+b_n"

c: On a vu que a₀ = 1 et b₀ = 0. Donc 2b₀² - a₀² = -1
    De plus, pour tout n entier naturel, d'après les expressions de a_n+1 et b_n+1 en fonction de a_n et b_n , on a:
   (2b_n+1² - a_n+1²) = 2(a_n+b_n)² - (a_n+2b_n)²
                              = 2(a_n² + 2a_nb_n + b_n²) - (a_n² + 4a_nb_n + 4b_n²)
                              = a_n² - 2b_n²
                              = -(2b_n² - a_n²)
    La suite (2b_n²-a_n²) est donc géométrique de raison q = -1.
    Comme (2b₀² - a₀²) = -1 , on en déduit que pour tout entier naturel: 2b_n² - a_n² = (-1)ⁿ⁺¹ .
    D'après l'indentité de Bezout, on peut alors dire que PGCD(a_n , b_n) = 1 pour n > 0.
    a_n et b_n sont premiers entre eux pour n > 0.

d: On remarque que U_nV_n = 1
    Donc, pour tout n entier naturel, on a:
    

e: C'est une application directe des résultats précédents.
     On sait que
     
     Or , d'après la question c: , a_n² et 2b_n² sont deux entiers consécutifs.(voir 2b_n² - a_n² = (-1)ⁿ⁺¹ )
     On peut donc bien écrire
     où p_n est un entier naturel.