Conséquences du Théorème de Fermat pour n = 4

Conséquences du Théorème de Fermat pour n = 4

On sait qu'il n'existe pas de triplets ( x , y , z ) d'entiers > 0 vérifiant l'équation :
(E₄) : x⁴ + y⁴ = z⁴. Ceci est un cas particulier de l'équation (F) : X⁴ + Y⁴ = Z² .
Conséquence 1
Considérons un rectangle dont les côtés A et B et la diagonale L soient entiers.
L'aire de ce rectangle est AB. De plus, on a : L² = A² + B².
Posons alors d = PGCD(A,B). On peut alors écrire que A = dA' et B = dB' où A' et B' sont des entiers premiers entre eux. L est alors divisible par d et en écrivant L = dL' , on obtient:
                                              (L')² = (A')² + (B')²
Si AB est le carré d'un entier X ,   (AB = X²) alors d²A'B' = X² , X est aussi divisible par d et en posant X = dX', on peut alors écrire :
                                             (A'B') = (X')²
A' et B' étant premiers entre eux, cette dernière égalité implique que A' et B' sont tous deux des carrés. On peut donc écrire A' = a² et B' = b²   avec a et b entiers (non nuls).
En revenant à l'égalité (L')² = (A')² + (B')² , on voit alors que :
                                              (L')² = a⁴ + b⁴
Comme cette équation n'admet aucune solution en (a , b , L' ) entiers > 0, on en déduit qu'un rectangle dont les côtés et la diagonale sont des entiers ne peut pas avoir une aire égale au carré d'un entier.
Autrement dit, un tel rectangle ne peut pas avoir une aire identique à celle d'un carré de côté entier.

Conséquence 2
On connait, dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle "unité" S₁ . Ce cercle est l'ensemble des points M de coordonnées ( x , y ) vérifiant l'équation : x² + y² = 1.
Un point M dont les coordonnées sont rationnelles, donc de la forme

appartient à S₁ si et seulement si on a : a² + c² = (bd )² . Ceci signifie que le triplet ( a , c , bd ) est solution de l'équation X² + Y² = Z². On sait que les solutions entières de cette équation sont de la forme :
( X = k(u² - v²) et Z = k( u² + v²) et Y = 2kuv ) où u et v sont des entiers premiers eux
et k un entier quelconque.
On en déduit qu'il existe une infinité de points M sur S₁ à coordonnées rationnelles.

En revanche, considérons l'ensemble des points M dont les coordonnées vérifient l'équation
x⁴ + y⁴ = 1
Cet ensemble S₄ admet comme axes de symétrie les deux axes de coordonnées et le centre du repère comme centre de symétrie.
Pour x et y positifs, la relation x⁴ + y⁴ = 1 peut s'écrire :
Posons alors pour x appartenant à [0 ; 1] ,
Une étude rapide de cette fonction montre donne alors l'allure de la courbe de f puis, par symétrie, la représentation graphique de S₄.

Le cercle unité S₁ est en noir et l'ensemble S₄ est en rouge.

Si un point M a des coordonnées rationnelles,

ce point appartient à S₄ si et seulement si on a : a⁴ + c⁴ = ( bd )⁴ . On sait que l'équation X⁴ + Y⁴ = Z⁴ n'admet aucune solution pour X , Y et Z entiers non nuls. Les seuls points à coordonnées rationnelles de S₄ sont donc les points de coordonnées : ( 1 ; 0 ) , ( 0 ; 1 ) , ( -1 ; 0 ) et ( 0 ; -1 ).